Аритметични операции в различни бройни системи. Аритметични операции в различни бройни системи двоични Аритметични операции в позиционна бройна система

Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи правила, добре известни на вас.

Добавяне.Помислете за добавянето на числа в двоичната бройна система. Тя се основава на таблицата за събиране на еднобитови двоични числа:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно е да се обърне внимание на факта, че когато се добавят две единици, се получава препълване на разреждане и се извършва прехвърляне към най-значимия бит. Препълването на цифрата се получава, когато стойността на числото в нея стане равна или по-голяма от основата.

Добавянето на многоцифрени двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за събиране, като се вземат предвид възможните прехвърляния от най-малките битове към най-значимите. Като пример добавете двоичните числа 110 2 и 11 2 в колона:

Нека проверим правилността на изчисленията, като добавим десетичната бройна система. Нека преобразуваме двоични числа в десетична бройна система и след това ги добавяме:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Сега нека преобразуваме резултата от двоично събиране в десетично число:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Нека сравним резултатите - добавянето е направено правилно.

Изваждане.Помислете за изваждането на двоични числа. Тя се основава на таблица за изваждане за еднобитови двоични числа. При изваждане от по-малко число (0) на по-голямо (1), се прави заем от най-значимия бит. В таблицата заемът е обозначен с 1 с ред:

Умножение.Умножението се основава на таблицата за умножение на еднобитови двоични числа:

дивизия.Операцията на деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма за извършване на операция на деление в десетичен запис. Като пример, нека разделим двоичното число 110 2 на 11 2:

За да извършите аритметични операции върху числа, изразени в различни бройни системи, първо трябва да ги преведете в една и съща система.

Задачи

1.22. Извършете събиране, изваждане, умножение и деление на двоични числа 1010 2 и 10 2 и проверете правилността на аритметичните операции с помощта на електронен калкулатор.

1.23. Добавете осмични числа: 5 8 и 4 8, 17 8 и 41 8.

1.24. Извадете шестнадесетични числа: F 16 и A 16, 41 16 и 17 16.

1.25. Добавете числа: 17 8 и 17 16, 41 8 и 41 16

Освен десетични, има неизмерим брой други системи, някои от които се използват за представяне и обработка на информация в компютър. Има два вида бройни системи: позиционни и непозиционни.

Непозиционните системи са тези, при които всяка цифра запазва своето значение, независимо от местоположението си в числото. Пример е римската цифрова система, която използва числа като I, V, X, L, C, D, M и т.н.

Позиционенсе наричат бройни системи, в които стойността на всяка цифра зависи от местоположението му.Позиционната система се характеризира с основата на смятане, което ще се разбира като такова число £, което показва колко единици от всяка категория са необходими, за да се получи единица от най-висок ред.

Например, можете да пишете

Какво съответства на числата в десетичния запис

Индексът по-долу показва основата на числото.

За прехвърляне на положителни числа от една бройна система в друга са известни две правила:

Превеждане на числа от системата , в системата ;

Превеждане на числа от системата , в системата използвайки системна аритметика ;

Помислете за първото правило . Да кажем число в десетичен знак трябва да бъдат представени в двоичен вид ... За да направите това, това число се разделя на основата на системата представени в системата , т.е. до 210. Остатъкът от деленето ще бъде най-малкият бит от двоичното число. Цялата част от резултата от деленето отново се дели на 2. Повторете операцията за деление толкова пъти, докато частното стане по-малко от две.

Пример: преобразуване на 89 10 в двоично с помощта на десетична аритметика

89 10 → 1011001 2

Обратният превод, съгласно същото правило, е както следва:

1011001 2 преобразува в десетичен с помощта на двоична аритметика

Двоичните числа 1000 и 1001 съгласно таблица 2.1 са съответно равни на 8 и 9. Следователно 1011001 2 → 89 10

Понякога обратният превод е по-удобен за извършване, като се използва общото правило за представяне на число във всяка числова система.

Нека разгледаме второто правило. Превеждане на числа от системата , в системата използвайки системна аритметика ... За да извършите превод, ви е необходима всяка цифра от число в системата умножете по основата на бройната система представени в бройната система и по силата на позицията на това число. След това получените работи се обобщават.

Аритметични и логически операции

Аритметични операции

Помислете за аритметиката на двоичната бройна система, тъй като тя се използва в съвременните компютри поради следните причини:

Има най-простите физически елементи, които имат само две състояния и които могат да се интерпретират като 0 и 1;

Аритметичната обработка е много проста.

Осмичните и шестнадесетичните числа обикновено се използват като заместител на дългите и следователно неудобни двоични числа.

Операциите по събиране, изваждане и умножение в двоичната система са както следва:

Както вече беше показано по-рано, за да се справите само със суматор, тоест за извършване само на операции за събиране, операцията на изваждане се заменя със събиране. За това се формира кодът на отрицателно число като допълнение към числата 2, 10, 100 и т.н.

Бройни системи

Бройна система -набор от техники и правила за писане на числа в цифрови знаци или символи.

Всички числови системи могат да бъдат разделени на два класа: позиционени непозиционен... В класа на позиционните системи се използват множество различни знаци за запис на числа в различни бройни системи. Броят на такива знаци в позиционната бройна система се нарича основа на бройната система.По-долу е дадена таблица, съдържаща имената на някои позиционни бройни системи и списък със знаци (числа), от които се образуват числата в тях.

Някои бройни системи

База	Нотация	Знаци
	Двоичен	0,1
	тройка	0, 1, 2
	кватернерен	0, 1, 2, 3
	Петкратно	0, 1, 2, 3, 4
	Осмични	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десетична	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Дванадесетичен	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	шестнадесетичен	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В позиционната бройна система на относителната позиция на цифрата в числото се приписва коефициент на тежест и числото може да бъде представено като сума от произведенията на коефициентите по съответната степен на основата на числовата система (тегловен коефициент ):

A n A n – 1 A n – 2 ... A 1 A 0, A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Знакът "," разделя цялата част на числото от дробната част. Така значението на всеки знак в числото зависи от позицията, която знакът заема в числовия запис. Ето защо такива бройни системи се наричат позиционни ).

Позиционна бройна система - система, в която стойността на числото се определя от стойностите на цифрите, включени в него, и тяхната относителна позиция в числото.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Десетичният индекс в долната част показва основата на числовата система.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F, 4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Когато работите с компютри, трябва да използвате паралелно няколко позиционни бройни системи (най-често двоична, десетична, осмична и шестнадесетична), поради което процедурите за преобразуване на числа от една бройна система в друга са от голямо практическо значение. Имайте предвид, че във всички горни примери резултатът е десетично число и по този начин вече е демонстриран метод за преобразуване на числа от всяка позиционна бройна система в десетична.

Като цяло, за да преобразувате цялата част на число от десетичната система в основната B система, трябва да я разделите на B. Остатъкът ще даде най-малката цифра от числото. Полученото в този случай частно трябва отново да бъде разделено на B - остатъкът ще даде следващата цифра на числото и т.н. Деленията продължават, докато частното е по-малко от основата. Стойностите на получените остатъци, взети в обратен ред, образуват желаното двоично число.

Пример за превод на цяла част:Преобразувайте 25 10 в двоично число.

25/2 = 12 с остатък от 1,

12/2 = 6 с остатък от 0,

6/2 = 3 с остатък 0,

Цели и дробни части се превеждат отделно. За да преведете дробната част, тя трябва да се умножи по B. Цялата част от получения продукт ще бъде първият знак (след запетаята, която разделя цялата част от дробната). Дробната част от продукта трябва да се умножи отново по B. Цялата част от полученото число ще бъде следващият знак и т.н.

За да преведете дробната част (или число с цели числа "0"), трябва да го умножите по 2. Цялата част от продукта ще бъде първата цифра на числото в двоичната система. След това, изхвърляйки цялата част от резултата, отново умножаваме по 2 и т.н. Имайте предвид, че крайната десетична дроб в този случай може да стане безкрайна (периодична) двоична.

Пример за превод на дробната част:Преобразувайте 0,73 10 в двоично число.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (цялата част 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (цяла част 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (цялата част 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (цяла част от 1) и т.н.

Така: 0,73 10 = 0,1011 2.

Различни аритметични операции могат да се извършват върху числа, записани във всяка бройна система. Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи правила, добре известни на вас.

Помислете за добавяне на две числа към основа десет:

При събиране на числата 6 и 7 резултатът може да бъде представен като израза 10 + 3, където 10 е пълната база за десетичната бройна система. Заменете 10 (база) с 1 и заменете вляво от числото 3. Ще се окаже:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Помислете за добавяне на две числа към основа осем:

При събиране на числата 6 и 7 резултатът може да бъде представен като израза 8 + 5, където 8 е пълната база за осмичната бройна система. Заменете 8 (база) с 1 и заменете вляво от числото 5. Ще се окаже:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Помислете за добавяне на две големи числа към основа осем:

Добавянето започва с най-малкия бит. И така, 4 8 + 6 8 се представя като 8 (основа) + 2. Заменете 8 (база) с 1 и добавете тази единица към най-значимите цифри. След това добавете следните цифри: 5 8 + 3 8 + 1 8 е представено като 8 + 1, заменете 8 (база) с 1 и го добавете към най-значимия бит. След това 2 8 + 7 8 + 1 8 се представя като 8 (основа) + 2, заменете 8 (основа) с 1 и го заменете вляво от полученото число (в позицията на най-значимата цифра). Така се оказва:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Други аритметични операции (изваждане, умножение и деление) се извършват по същия начин в различни бройни системи.

Помислете за умножение "колона", като използвате примера на две числа в двоичната система:

11101 2 101 2

Пишем числа едно под друго, в съответствие с цифрите. След това правим побитово умножение на втория фактор с първия и го записваме с отместване наляво, по същия начин, както при умножаване на десетични числа. Остава да се съберат "изместените" числа, като се вземе предвид основата на числата, в този случай двоична.

преобразувайте получения резултат в база 16.

Във втората цифра 29 е представено като 16 (база) и 13 (D). Заменете 16 (база) с 1 и го добавете към най-значимия бит.

В третата цифра 96 + 1 = 97. Тогава 97 се представя като 6 · 16 (база) и 1. Добавете 6 към най-значимата цифра.

В четвъртата цифра 20 + 6 = 26. Нека представим 26 като 16 (база) и 10 (А). Прехвърляме единицата в най-значимата категория.

С определени умения за работа с различни бройни системи, записът може незабавно да бъде представен като

	А

	Б	Б

А		д

Така че A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2.

От гледна точка на изучаването на принципите на представяне и обработка на информацията в компютъра, обсъжданите системи (двоични, осмични и шестнадесетични) представляват голям интерес, въпреки че компютърът обработва данни само преобразувани в двоичен код (двоична бройна система ). Въпреки това, често, за да се намали броят на знаците, написани на хартия или въведени от компютърна клавиатура, е по-удобно да се използват осмични или шестнадесетични числа, особено след като, както ще бъде показано по-долу, процедурата за взаимно превеждане на числа от всеки от тези системи в двоичен е много прост - много по-прости преводи между всяка от тези три системи и десетични.

Представяме числата на различни бройни системи, съответно, един към друг:

Десетична	шестнадесетичен	Осмични	Двоичен










	А
	Б
	° С
	д
	Е
	Ф

Таблицата показва, че числата на системата с основа 2, 8 и 16 имат периодични модели. И така, осем стойности на осмичната система, тоест (от 0 до 7 или пълна основа), съответстват на три цифри ( триади) на двоичната система. По този начин, за да се опишат числата на една цифра от осмичната система, са необходими точно три цифри от двоичната система. По същия начин и с шестнадесетични числа. Само за тяхното описание са необходими точно четири цифри ( тетради) на двоичната система.

От това следва, че за да преобразувате всяко двоично цяло число в осмично, трябва да го разделите отдясно наляво на групи от 3 цифри (най-лявата група може да съдържа по-малко от три двоични цифри) и след това да присвоите всяка група на нейния осмичен еквивалент.

Например, искате да преобразувате 11011001 2 в осмична система.

Разделяме числото на групи от три цифри 011 2, 011 2 и 001 2. Заменете съответните числа в осмичната система. Получаваме 3 8, 3 8 и 1 8 или 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Обратните трансфери се извършват по същия начин, например:

Преобразуване на двоична бройна система за AB5D 16.

Заменяме всеки знак от числото AB5D 16 на свой ред със съответното число от двоичната система. Получаваме 1010 16, 1011 16, 0101 16 и 1101 16 или 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

В допълнение към позиционните бройни системи, разгледани по-горе, има такива, при които значението на знака не зависи от мястото, което заема в числото. Такива бройни системи се наричат непозиционен... Най-известният пример за непозиционна система е римски... Тази система използва 7 знака (I, V, X, L, C, D, M), които отговарят на следните стойности:

Правила за писане на числа с римски цифри: - ако голяма цифра е пред по-малка, тогава те се събират (принцип на събиране), - ако по-малка цифра е пред по-голяма, тогава по-малката се изважда от по-голямата (принцип на изваждане).

Второто правило се прилага, за да се избегне повтарянето на едно и също число четири пъти. И така, римските цифри I, X, C се поставят съответно пред X, C, M за означаване на 9, 90, 900 или преди V, L, D за означаване на 4, 40, 400.

Примери за писане на числа с римски цифри:

IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.н.

Трябва да се отбележи, че извършването на дори прости аритметични операции върху многоцифрени числа с римски цифри е много неудобно. Вероятно сложността на изчисленията в римската система, базирана на използването на латински букви, е била една от непреодолимите причини за замяната й с по-удобна десетична система в това отношение.

3.1 Основата на числовата система се нарича ...

Набор от техники и правила за писане на числа в цифрови знаци или символи

Броят на знаците, използвани в определена позиционна бройна система

Делител, използван при преобразуване на числа от една бройна система в друга

Често срещан фактор при преобразуване на числа от една бройна система в друга

3.2 Коя бройна система не се използва широко в компютърните технологии

Осмични

Двоичен

Петкратно

шестнадесетичен

За да работите с данни, използвайте кодиране, т.е. изразяване на данни от един тип чрез данни от друг тип.

Системата съществува и в компютрите – нарича се двоично кодиранеи се основава на представянето на данни чрез последователност от само два знака: 0 и 1. Тези знаци се наричат двоични цифри,на английски - двоична цифраили, накратко, бит (бит).

Две концепции могат да бъдат изразени с един бит: 0 или 1 (даили без черноили бяло, вярноили лъжаи др.). Ако броят на битовете се увеличи до два, тогава вече могат да бъдат изразени четири различни концепции:

Осем различни стойности могат да бъдат кодирани с три бита: 000 001 010 011 100 101 110 111

Чрез увеличаване на броя на битовете в системата за двоично кодиране с един, ние удвояваме броя на стойностите, които могат да бъдат изразени в тази система, тоест общата формула е:

N = 2 m,където:

Н -броят на независимите кодирани стойности;

т- битово кодиране, използвано в тази система.

Тъй като битът е твърде малка мерна единица, на практика често се използва по-голяма единица - байт, равен на осем бита.

Използват се и по-големи извлечени единици данни:

Килобайт (KB) = 1024 байта = 2 10 байта;

Мегабайт (MB) = 1024 KB = 2 20 байта;

Гигабайт (GB) = 1024 MB = 2 30 байта.

Напоследък, във връзка с увеличаването на обема на обработваните данни, са получени такива единици като:

Терабайт (TB) = 1024 GB = 2 40 байта;

Петабайта (PB) = 1024 TB = 2 50 байта;

Exabytes (Ebytes) = 1024 PB = 2 60 байта.

Кодиране текстова информация се произвежда с помощта на американския стандартен код за обмен на информация ASCII, в който кодовете на знаци са зададени от 0 до 127. Националните стандарти разпределят 1 байт информация за символ и включват таблица с ASCII кодове, както и кодове на национални азбуки с числа от 128 до 255. В момента има пет различни кодировки на кирилица: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh и ISO. В края на 90-те години се появи нов международен стандарт Unicode, който разпределя не един байт, а два байта за всеки знак и следователно може да се използва за кодиране не, а различни символи.

Основна таблица за кодиране ASCIIе дадено в таблицата.

Цветово кодиране графични изображения произведени с помощта на растер, където всяка точка е свързана с номера на цвета си. В системата за кодиране RGB цветът на всяка точка е представен от сумата от червено (червено), зелено (зелено) и синьо (синьо). В системата за кодиране CMYK цветът на всяка точка е представен от сумата от добавените циан, магента, жълто и черно (K).

Кодиране на аналогов сигнал

Исторически, първата технологична форма за получаване, предаване и съхранение на данни е аналогово (непрекъснато) представяне на звуков, оптичен, електрически или друг сигнал. За да се получат такива сигнали в компютър, първо се извършва аналогово-цифрово преобразуване.

Аналогово-цифровото преобразуване се състои в измерване на аналогов сигнал на равни интервали τ и кодиране на резултата от измерването с n-битова двоична дума. В този случай се получава последователност от n-битови двоични думи, представляващи аналогов сигнал с дадена точност.

Приетият в момента стандарт за CD използва това, което се нарича "16-битово аудио със скорост на сканиране 44 kHz". За дадената цифра, преведена на нормален език, това означава, че "дължината на стъпката" (t) е равна на 1/44000 s, а "височината на стъпката" (δ) е 1/65 536 от максималната сила на сигнала (т.к. 2 16 = 65 536) ... В този случай честотният диапазон на възпроизвеждане е 0-22 kHz, а динамичният диапазон е 96 децибела (което е напълно недостижима характеристика за качество за магнитен или механичен звукозапис).

Компресиране на данни.

Обемът на обработваните и предавани данни нараства бързо. Това се дължи на внедряването на все по-сложни процеси на приложение, появата на нови информационни услуги, използването на изображения и звук.

Компресиране на данни (компресия на данни)- процес за намаляване на количеството данни. Компресията може драстично да намали размера на паметта, необходима за съхраняване на данни, и да намали (до приемлив размер) времето за трансфер на данни. Компресията на изображението е особено ефективна. Компресирането на данни може да се извърши както чрез софтуер, така и чрез хардуер или комбиниран метод.

Компресирането на текстове е свързано с по-компактно оформление байтове,кодиращи символи. Той също така използва брояч на повторение на интервал. Що се отнася до звука и изображенията, количеството информация, която ги представя, зависи от избраната стъпка на квантуване и броя на битовете за аналогово-цифрово преобразуване. По принцип той използва същите методи за компресиране като при текстообработката. Ако компресирането на текстове става без загуба на информация, тогава компресирането на звук и изображения почти винаги води до известна загуба на информация. Компресията се използва широко в архивирането на данни.

Нотация- представяне на число чрез определен набор от знаци. Броевите системи са:

1. Единични (система от етикети или пръчици);

2. Непозиционен (римски);

3. Позиционен (десетичен, двоичен, осмичен, шестнадесетичен и др.).

Позиционене числова система, в която количествената стойност на всяка цифра зависи от нейното място (позиция) в числото. Основатапозиционната бройна система е цяло число, повдигнато до степен, която е равна на броя на цифрите в тази система.

Двоичната бройна система включва азбука от две числа: 0 и 1.

Осмичната бройна система включва азбука от 8 цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Десетичната бройна система включва азбука от 10 цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Шестнадесетичната бройна система включва 16-цифрена азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			А Б В Г Д Е

В компютърната техника кодирането се използва в двоичната бройна система, т.е. последователности 0 и 1.

За да преобразувате цяло число от една бройна система в друга, трябва да изпълните следния алгоритъм:

1. Основата на новата бройна система се изразява с числата на оригиналната бройна система.

2. Извършете последователно деление на даденото число по основата на новата бройна система, докато частното стане по-малко от делителя.

3. Получените салда трябва да бъдат прехвърлени в новата бройна система.

4. Направете число от остатъците в нова системаотчитане, започвайки от последния остатък.

В общия случай, в позиционен SS с основа P, всяко число X може да бъде представено като полином от база P:

X = an P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + ao P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m P -м,

където като коефициенти a i може да бъде всяка от P цифрите, използвани в CC с основата P.

Преобразуването на числа от 10 SS във всяко друго за целите и дробните части на числото се извършва по различни методи:

а) цялата част от числото и междинните частни се разделят на основата на новия SS, изразена в 10 SS, докато частното на делението стане по-малко от основата на новата SS. Действията се извършват в 10 SS. Резултатът е коефициенти, записани в обратен ред.

б) дробната част от числото и получените дробни части на междинните продукти се умножават по основата на новия СС до достигане на определената точност или се получава "0" в дробната част на междинния продукт. Резултатът е цели части от междинни парчета, написани в реда, в който са получени.

Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.

Пример 1.Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична нотация (SS) в десетична SS. Решение:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Пример 2.Преобразувайте 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:

Пример 3... Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична основа в десетична SS. Решение:

Тук А-заменено с 10, Б- в 11, ° С- в 12, Ф- до 15.

Преобразуване на 8 (16) число във форма 2 - достатъчно е да замените всяка цифра от това число със съответното 3-битово (4-битово) двоично число. Изхвърлете ненужните нули в най-значимите и най-малко значимите цифри.

Пример 1: Преобразувайте числото 305.4 8 в двоичен SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Пример 2: преобразувайте числото 9AF, 7 16 в двоично CC.

(_9 __ _А __ _Ф __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

За да преведете 2-ро число в 8 (16) SS, постъпете по следния начин: придвижвайки се от запетаята наляво и надясно, разделете двоичното число на групи от 3 (4) цифри, допълвайки крайните лява и дясна групи с нули, ако е необходимо . След това всяка група се заменя със съответната осмична (16) цифра.

Пример 1: преобразувайте число 110100011110100111,1001101 2 в осмичен SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Пример 2: Преобразувайте числото 110100011110100111,1001101 2 в шестнадесетичен SS.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Аритметични операциивъв всички позиционни бройни системи, числата се изпълняват по едни и същи правила, добре известни на вас.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Умножение.Умножението се основава на таблицата за умножение на еднобитови двоични числа:

УРОК №19-20.

Тема

Аритметични операции в позиционни бройни системи. Умножение и деление.

Целта на урока:покажете начините на аритметични действия (умножение и деление) на числата в различни бройни системи, проверете усвояването на темата „Събиране и изваждане на числа в различни бройни системи“.

Цели на урока:

образователен

развиващи се:

образователен:

Материали и оборудване за урока:карти за самостоятелна работа, таблици за умножение.

Тип урок:комбиниран урок

Формуляр за урок: индивидуален, челен.

По време на часовете:

1. Проверка на домашното.

Домашна работа:

1. № 2.41 (1 и 2 колони), работилница, стр. 55

Решение:

А) 11102 + 10012 = 101112

Б) 678 + 238 = 1128

Б) AF16 + 9716 = 14616

Г) 11102-10012 = 1012

Г) 678-238 = 448

Д) AF16-9716 = 1816

2. No.2.48 (стр. 56)

2. Самостоятелна работа "Събиране и изваждане на числа в различни бройни системи." (20 минути)

Самостоятелна работа. 10 клас .
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Изваждане: 10111-111; 11 - 1110 4. Събиране и изваждане в 8-редната система: 738 и 258	Опция 1

Самостоятелна работа. 10 клас.Двоична бройна система: транслация 2® 10; допълнение.
1. Извършете преобразуването от двоичен в десетичен. 2. Добавете две двоични числа. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Изваждане: 111-1001; 1110 + 111 4. Събиране и изваждане в шестнадесетичен: 7316 и 2916	Вариант 2

3. Нов материал.

1. Способност

Когато умножавате многоцифрени числа в различни позиционни бройни системи, можете да използвате обичайния алгоритъм за умножение на числа в колона, но резултатите от умножението и събирането на едноцифрени числа трябва да бъдат заимствани от таблиците за умножение и събиране, съответстващи на системата под съображение.

Двоично умножение

Осмично умножение

Поради изключителната простота на таблицата за умножение в двоичната система, умножението се свежда само до измествания на умножението и събирания.

Пример 1.Нека умножим числата 5 и 6 в десетична, двоична, осмична и шестнадесетична система.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif "width =" 419 "height =" 86 src = ">
Отговор: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Преглед.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Пример 2.Нека умножим числата 115 и 51 в десетична, двоична, осмична и шестнадесетична система.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif "width =" 446 "height =" 103 src = ">
Отговор: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Преглед.Преобразуваме получените продукти в десетична форма:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. Г в д

Делението във всяка позиционна бройна система се извършва по същите правила като деленето на ъгъл в десетичната система. В двоичната система разделянето е особено лесно, тъй като следващата цифра на частното може да бъде само нула или едно.
Пример 3.Разделете числото 30 на числото 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif "width =" 478 "height =" 87 src = ">
Отговор: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 4.Разделете 5865 на 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif "width =" 400 "height =" 159 src = ">

осмичен: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif "width =" 416 "height =" 18 src = ">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif "width =" 72 "height =" 89 src = ">
Отговор: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Преглед.Преобразувайте получените коефициенти в десетични:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Домашна работа:

1. Подгответе се за тест номер 2 „По темата за бройните системи. Превод на числа. Аритметични операции в числови системи "

2. Работилница Угринович, No 2.46, 2.47, стр. 56.

литература:

1. Семинар по информатика и информационни технологии. Учебник за учебни заведения /,. - М.: Бином. Лаборатория на знанието, 2002.400 стр.: ил.

2. Угринович и Информационни технологии... Учебник за 10-11 клас. - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанията, 2003 г.

3. Шауцукова: Образователна. надбавка за 10-11 клас общо образование. институции. - М .: Образование, 2003.9 - с. 97-101, 104-107.

Хареса ли ви статията? Сподели го

Печатна статия