Изградете логически диаграми за следните функции. Логически схеми и логически изрази. Изисквания за знания и умения
4) Отговор: l v 0 & l = 1.
Пример 2
Изградете логическа схема, съответстваща на логически израз
F = X & Y v (Y v X).
Изчислете стойностите на израза за X = 1, Y = 0.
1) Има две променливи: X и Y;
2) Има три логически операции: конюнкция и две дизюнкции: 14 3 2 X & Y v (Y v X).
3) Изграждаме веригата отляво надясно в съответствие с реда на логическите операции:
 |
3) Изчислете стойността на израза: F = l & 0 v (0 v 1) = 0
Правете упражнението
Изградете логическа верига, съответстваща на логическия израз и намерете стойността на логическия израз:
A) F = A v B & C, ако A = 1, B=1, C=1.
B) F = (A v B & C), ако A=0, B=1, C=1.
B) F = A v B & C, ако A=1, B=0, C=1.
D) F = (A v B) & (C v B), ако A=0, B=1, C=0.
E) F = (A & B & C), ако A=0, B=0, C=1.
E) F = (A & B & C) v (B & C vA), ако A=1, B=1, C=0.
G) F = B & A v B & A, ако A=0, B=0.
Закони на логиката
Ако логически израз съдържа голям брой операции, тогава е доста трудно да се състави таблица на истинността за него, тъй като трябва да сортирате голям бройнастроики. В такива случаи е удобно формулите да се сведат до нормална форма.
Формулата има нормална форма, ако не съдържа знаци за еквивалентност, импликация, двойно отрицание, докато знаците за отрицание се намират само с логически променливи.
За привеждане на формулата в нормална форма се използват законите на логиката и правилата на логическите трансформации.
| A=A | Закон за идентичността | |
| A&A=0 | Закон на противоречието | |
| Av A = l | Закон за изключителната среда | |
| А = А | Законът за двойното отрицание | |
| A&0 = 0 A v 0 = A | Закони за постоянно изключване | |
| A&1=A A v 1 = 1 | Закони за постоянно изключване | |
| A&A=A A v A=A | Правило за идемпотентност | |
| AvA=l | ||
| (A→B)=A&B | ||
| A→B = A v B | ||
| A& (Av B)= A | закон на абсорбцията | |
| A v (A & B) = A | закон на абсорбцията | |
| A& (Av B) = A & B | ||
| AvA&B = A срещу B | ||
| (AvB) vC =Av(BvC) (A&B)&C = A&(B&C) | Правило за асоциативност | |
| (A&B) v(A&C) = A&(BvC) (AvB)&(AvC) = Av(B&C) | Правило за дистрибутивност | |
| AvB = BvA A&B = B&A | Правило за комутативност | |
| AóB = A&Bv(A&B) | ||
| (AvB)= A и B | Законите на Морган | |
| (A&B)=AvB | Законите на Морган | |
Пример
Опростете булевия израз Ф= ((А v Б) → (Б v С)). Този логически израз трябва да бъде преобразуван в нормална форма, т.к съдържа импликацията и отрицанието на логическата операция.
1. Отървете се от внушението и отрицанието. Нека използваме (8). Оказва се: ((AvB)→(BvC))= (AvB)&(BvC).
2. Приложете закона за двойното отрицание (4). Получаваме: (AvB)&(BvC)= (AvB)&(BvC)
3. Приложете правилото за дистрибутивност (15). Получаваме:
(AvB)&(BvC)= (AvB)&Bv(AvB)&C.
4. Нека приложим закона за комутативността (17) и разпределителността (15). Получаваме: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
5. Кандидатствайте (16) и получете: A&BvB&BvA&CvB&C=A&BvBvA&CvВ&С
6. Да приложим (15), т.е. изваждаме B от скоби. Получаваме:
A&BvBv A&Cv B&C=B&(Av1)v A&Cv B&C
7. Да приложим (6). Получаваме: B &(Avl)v A&Cv B &C = Bv A&Cv B &C.
8. Пренаредете термините, групирайте и извадете B от скоби. Получаваме:
BvA&CvB&C = B&(1vC)vA&C.
9. Приложете (6) и получете отговора:
Отговор: F = ((A v B) → (B v C)) = B v A & C.
Опростете израза:
1) F = (A & B)v(B v C).
2) F = (A→B) v (B→A).
3) F = A & C vA & C.
4) F = A v B v C v A v B v C.
5) F = (X & Y v(X & Y)).
6) F= X &(Y v X).
7) F = (X v Z) & (X v Z) & (Y v Z).
10) F= B&C& (AvA).
11) F=A&B&CvAvB
12) F= (AvB)&(BvA)& (CvB)
Опростете израза:
1.F= A&C vA&C.
2. F= A ↔ B v A&C
3.F=A&(B↔C)
4. F = (X v Y) & (Y ↔ X).
5.F= A v B v C v A v B v C.
6. F=(AvB) → (AvC)
7. F= A ↔ (B v C)
8. F = A & B → C & D.
9.F=(X & Y v(X & Y)).
10. F = (X v Y) & (Y v X).
11.F= A ↔ B&C
12. F = (A v B) & (B v A → B).
13.F= X &(Y v X).
14. F= A → B v A&C
15. F = X & Y v X.
16. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z v Y).
17.F=(X v Z) & (X v Z) & (Y v Z).
18. F= A → (B v C)
19. F= A ↔ B v C
20. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z → Y).
21. F= (B&(A→C))
22. F= A → B v A&C
23. F= A ↔ (B v C)
24. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z v Y).
25.F=(A→B) v (B→A).
26.F=A&B&C&D.
27. F \u003d A ↔ (B v C)
28. F=A& (B→C).
29.F= A&(AvB)
30. F= A ↔ (B v C)
31. F= A → B v A &C
32. F = (A v B) & (B v A v B).
33.F= B&C& (AvA).
34. F= A&B срещу A&C
35. F = X & Y ↔ X.
36. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z ↔ Y).
37.F= A&B&CvAvB
38. F = (X → Y) & (Y v X).
39.F= A → B&C
40. F = (A ↔ B) & (B v A & B).
41.F=(AvB)&(BvA)& (CvB) .
42. F= A&B срещу A&C
43. F=A& (BvC)
44. F = (X → Y) & (Y ↔ X).
45.F= Av(A&B)
46. F = A & B ↔ C & D.
47. F \u003d A ↔ (B v C)
48. F=(X & Y) v (Y & X).
Пример за решаване на логически задачи с помощта на алгебрата на логиката
логика
Логическа диаграма- това е схематично изображение на устройство, състоящо се от превключватели и проводници, свързващи ги, както и входове и изходи, към които се подава и отстранява електрически сигнал.
Всеки превключвател има само две състояния: затворени отворен. Приписваме превключвателя X на логическа променлива x, която приема стойност 1, ако и само ако ключът X е затворен и веригата провежда ток; ако превключвателят е отворен, тогава x е нула.
Двете схеми се наричат еквивалентен , ако токът протича през единия от тях, само ако минава през другия (за същия входен сигнал).
От две еквивалентни схеми, по-простата верига е тази, чиято функция на проводимост съдържа по-малък брой логически операции или превключватели.
Когато се разглеждат комутационни вериги, възникват два основни проблема: синтез и анализ схема.
СИНТЕЗ НА СХЕМАТА според дадените условия на нейното действие се свежда до следните три етапа:
- съставяне на функцията на проводимост според таблицата на истинността, отразяваща тези условия;
- опростяване на тази функция;
- изграждане на подходяща схема.
АНАЛИЗ НА СХЕМАТА се свежда до:
- определяне на стойностите на неговата функция на проводимост за всички възможни набори от променливи, включени в тази функция.
- получаване на опростена формула.
Задача: Направете таблица на истинността за дадената формула: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).
Решение: В таблицата на истинността на тази формула е полезно да се включват таблици на истинност на междинни функции:
| xyz | x ~ z | x y | yz | (x y) ~ (y z) | (x~ z)|((x y) ~ (yz) |
Насоки за изпълнение на практическа задача No2. "Алгебра на логиката". Построяване на таблици на истинността.
Обективен: Запознайте се с основните аритметични операции, основни логически елементи (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, изключително ИЛИ) и изучаване на методи за конструиране на таблици на истинността въз основа на тях.
Упражнение:
1. В Приложение 2 изберете опцията за задача и пишете таблица на истината .
2. Изпълнете задачата, като използвате примера за решаване на логически задачи с помощта на алгебрата на логиката.
Задача:
Изградете логическа верига според даден булев израз:
F =`BA + B`A + C`B.
решение:
По правило изграждането и изчисляването на всяка верига се извършва, като се започне от нейния изход.
Първи етап: логическо събиране, извършва се логическа операция ИЛИ, като се имат предвид входните променливи на функцията`B A, B`A и C`B:
Втора фаза: логическите елементи И са свързани към входовете на елемента ИЛИ, чиито входни променливи вече са A, B, C и техните инверсии:
Трети етап: за получаване на инверсии на `A и `B, инверторите се поставят на съответните входове:
Тази конструкция се основава на следната характеристика - тъй като стойностите на логическите функции могат да бъдат само нули и единици, тогава всички логически функции могат да бъдат представени като аргументи на други по-сложни функции. По този начин изграждането на логическа схема се осъществява от изхода до входа.
Насоки за изпълнение на практическа задача No3. "Алгебра на логиката". Изграждане на логически вериги
Обективен: Запознайте се с основните аритметични операции, основните логически елементи (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, XOR) и изучавайте методи за изграждане на прости логически схеми, базирани на тях.
Упражнение:
1. В Приложение 2 изберете опцията за задача и изградете логическа диаграма .
2. Изпълнете задачата, като използвате пример за изграждане на логически схеми.
3. Завършете работата в тетрадка за практическа работа.
4. Представете резултата от работата на учителя.
5. Защитете работата, извършена от учителя.
Приложение 2. Таблица с опции за задачи
| Създайте таблица на истинността и логическа диаграма за тези операции | |
| Опция | Операции |
4. Индивидуална задача. Модул 1
Задачи за IDZ:
- В Приложение 3 изберете опцията за отделна задача.
- Завършете задачата с помощта на теория
- Проверете логическата схема с преподавател.
- Издайте IDZ във формат А4, заглавна страница по образец Приложение 4.
- Представете резултата от работата на учителя.
- Защитете работата, извършена от учителя.
Приложение 3. Таблица с опции за индивидуална задача
| Настроики | Направете таблица на истинността и логическа схема с помощта на формули |
Приложение 4. Заглавна страница на IPD
При изграждането на отделни компютърни възли често се налага решаване на проблема за изграждане на функционални логически схеми за дадени функции. За да направите това, достатъчно е да се съгласите, че вярното твърдение съответства на факта, че веригата провежда ток, а фалшивото означава, че веригата е счупена.
Логическите операции на конюнкция, дизюнкция, инверсия се реализират в компютър с помощта на следните елементарни схеми.
Съвпад - логически елемент "и":
Този елемент изпълнява операцията на логическо умножение (конюнкция): f = x 1 Ù x 2 Ùx 3 Ù…Ùx n ; и има n входа и един изход.
Дизюнкция - логически елемент "или":
Този елемент изпълнява операцията на логическо събиране (дизюнкция): f = x 1 Ú x 2 Úx 3 Ú…Úx n ; и има n входа и един изход.
Инверсия - логически елемент "не":
Този елемент изпълнява операцията на логическо отрицание (инверсия): f = ; и има един вход и един изход.
Сложните функционални схеми могат да бъдат конструирани от основни логически елементи, използвайки основните закони на булевата алгебра
Пример за контролна задача
Упражнение:
Дадена функция 
1. Начертайте функционална логическа диаграма за тази функция.
2. Опростете логическата функция (използвайки законите на булевата алгебра) и тествайте трансформацията с таблица на истинността.
3. Начертайте функционална логическа диаграма за опростена функция.
Производителност:
1. Съставете таблица на истинността за дадена функция:
| х | г | |||||||
2. Нека направим функционална логическа диаграма за дадена функция:
3. Опростете дадената функция, като използвате законите на булевата алгебра:
а) според закона на Морган - 9
б) според закона за идемпотентността - 13
в) закон за отрицанието на отрицанието - 1
г) закон за разпределението - 6
д) свойства 1 и 0 - 19
е) свойства 1 и 0 - 16
Така че опростената функция е: 
4. Нека направим таблица на истинността за опростена функция:
| х | г | |||
По този начин, сравнявайки таблиците на истинността за оригиналните и опростените функции (последните им колони), заключаваме, че трансформациите са правилни.
5. Нека направим функционална логическа диаграма за опростена функция:
Задача за извършване на контролна работа
Функцията f(x,y) е дадена, номерът на функцията в таблицата съответства на поредния номер на ученика в списъка.
4. Начертайте функционална логическа диаграма за тази функция.
5. Опростете логическата функция (използвайки законите на булевата алгебра) и тествайте трансформацията с таблица на истинността.
За проектиране на електронни устройства могат да се използват знания от областта на математическата логика. Знаем, че 0 и 1 в логиката не са просто числа, а обозначение на състоянията на някакъв обект от нашия свят, условно наричан „грешно“ и „вярно“. Такъв обект с две фиксирани състояния може да бъде електрически ток. Устройствата, които фиксират две стабилни състояния, се наричат бистабилни (например превключвател, реле). Ако си спомняте, първите компютри бяха релейни. По-късно са създадени нови електрически устройства за управление - електронни схеми, състоящ се от набор от полупроводникови елементи. Такива електронни схеми, които преобразуват сигнали само от две фиксирани напрежения на електрически ток (бистабилни), започнаха да се наричат логически елементи.
На елементарно ниво конюнкцията може да се разглежда като превключватели, свързани последователно, а дизюнкцията като превключватели, свързани паралелно:
Логическите елементи имат един или повече входове и един изход, през които преминават електрически сигнали, условно обозначени с 0, ако няма електрически сигнал, и 1, ако има електрически сигнал. Най-простият логически елемент е инвертор, който изпълнява функцията на отрицание. Ако входът получи сигнал, съответстващ на 1, тогава изходът ще бъде 0. И обратно. Този елемент има един вход и един изход. На функционалните диаграми е посочено:
Логическият елемент, който извършва логическо събиране, се нарича дизюнктор. Има поне два входа. На функционалните диаграми е посочено:
Логическият елемент, който извършва логическото умножение, се нарича конюктор.Има поне два входа. На функционалните диаграми е посочено:
Няма специални логически елементи за импликация и еквивалентност, тъй като A => B може да бъде заменен с A V B; НО<=>B може да бъде заменен с (A & B)V(A & B).
Други логически елемента са изградени от тези три прости и извършват по-сложни логически трансформации на информация. Сигналът, генериран от един логически елемент, може да се подава към входа на друг елемент, което прави възможно образуването на вериги от отделни логически елементи. Например:
Тази схема съответства на сложна логическа функция F(A, B)= (A V B).
Опитайте се да проследите промените в електрическия сигнал в тази верига. Например каква стойност на електрическия сигнал (0 или 1) ще бъде на изхода, ако на входа: A=1 и B=0.
Такива схеми от логически елементи се наричат логически устройства. Логическите устройства, когато са свързани, на свой ред се образуват функционални диаграми(те се наричат още структурни или логически схеми). Според дадена функционална схема е възможно да се определи логическата формула, по която работи тази схема, и обратно.
Пример 1Логическата диаграма за функцията ще изглежда така:
Правилата за съставяне на електронни логически схеми по дадени таблици на истинността остават същите като при контактните схеми.
Пример 2Направете логическа схема за тайно гласуване на трима лица A, B, C, чиито условия се определят от следната таблица на истинността:
| А | ||||||||
| Б | ||||||||
| ° С | ||||||||
| Ф |
Решение
Според таблицата ние изграждаме SDNF на логическата функция и я опростяваме:
Правилността на получената формула може да се провери чрез съставяне на таблица на истинността за нея:
Стойността на получената функция съвпада с оригиналната, което може да се види при сравняване на таблиците.
Логическата диаграма на получената функция има формата:
Нека разгледаме още два логически елемента, които играят ролята на основни при създаването на по-сложни елементи и схеми.
Логическият елемент И-НЕ се състои от конюктор и инвертор:
Логическият елемент ИЛИ-НЕ се състои от дизюнктор и инвертор:
Изходната функция се изразява с формулата.
Въпроси за самоконтрол
1. Основни логически операции: конюнкция, дизюнкция (и двата вида), отрицание, импликация, еквивалентност. Примери за логически изрази.
2. Таблица на истината. Примери. А, а не А; А или не А
3. Основни закони на математическата логика: пермутация, комбинация и разпределение
4. Закони на де Морган (законът на отричането).
5. (Перфектна) дизюнктивна нормална форма. Пример
Защо е необходимо да можете да изграждате логически схеми?
Факт е, че по-сложните вериги са съставени от клапани, които ви позволяват да изпълнявате аритметични операциии съхранявайте информация. Освен това верига, която изпълнява определени функции, може да бъде изградена от клапани, които са различни по комбинация и брой. Следователно стойността на формалното представяне на логическата верига е изключително висока. Необходимо е разработчикът да може да избере най-подходящия вариант за изграждане на верига от порти. Така процесът на разработване на обща логическа схема на устройство (включително компютъра като цяло) става йерархичен и на всяко следващо ниво създадените на предишния етап логически схеми се използват като „тухли“.
Алгебрата на логиката даде на дизайнерите мощен инструмент за разработване, анализиране и подобряване на логически схеми. Всъщност е много по-лесно, по-бързо и по-евтино да се изследват свойствата и да се докаже правилната работа на веригата с помощта на формула, която го изразява, отколкото да се създаде истинско техническо устройство. Това е същността на всяко математическо моделиране.
Логическите схеми трябва да бъдат изградени от минималния възможен брой елементи, което от своя страна гарантира по-голяма скорост и повишава надеждността на устройството.
Алгоритъм за изграждане на логически схеми :
1) Определете броя на булевите променливи.
2) Определете броя на основните логически операции и техния ред.
3) Начертайте за всяка логическа операция портата, съответстваща на нея.
4) Свържете портите в реда на логическите операции.
|
Пример 10 Начертайте логическа диаграма за логически израз: F= ¬ х v Y&X.1) Две променливи - X и Y . 2) Две логически операции:1 3 2 ¬ хv Y&X. 3) Изграждаме верига, като свързваме портите в реда на логически операции: Пример 11 Изградете логическа схема, съответстваща на логически израз F=X&Y v ¬ (Й vх). Изчислете стойностите на израза за X=1, Y=0. 1) Две променливи: X и Y . 2) Има четири логически операции: конюнкция, две дизюнкции и отрицание.Определете реда, в който се извършват операциите: 1 4 3 2 X&Y v ¬ (Й vх). 3) Ние изграждаме веригата отляво надясно в съответствие с реда на изпълнение на логическите операции: 4) Нека изчислим стойността на израза: F=1&0 v ¬ (0 v 1)=0. |
Упражнение 15
Изградете логическа верига, съответстваща на логическия израз и намерете стойността на логическия израз:
1)
F=Av B& ¬ C, ако A=1, B=1, C=1.2) F=¬ (А v B&C) ако A=0, B=1, C=1.